円 に 接する 直線 の 方程式
ブリティッシュ-ショート-ヘア-ロシアン-ブルー■[個別の頁からの質問に対する回答][ 円の接線の方程式 について/17. 6. 18] 問題1の(3)解答欄がありません。 =>[作者]: 連絡ありがとう.西暦2000年にはまだChromeはありませんでしたが,2017年現在ではそれなりのシェアになっています.そのChromeで見た場合, 入力欄が他のブラウザと全然違う表示なるということはそこそこ知られていますが,教材の数が数千頁と多いため,苦情が来たものから順に訂正するするしか仕方ないようです.世の中にある多くのWeb頁でこういうことはあるかもしれません. ■[個別の頁からの質問に対する回答][ 円の接線の方程式 について/17. 2. 14] 接点がわからない時の、接線の求め方が知りたいです =>[作者]: 連絡ありがとう.サブメニューでその次の項目を見てください. ■[個別の頁からの質問に対する回答][ 円の接線の方程式 について/17. 1. 28] 素敵なページですね! =>[作者]: 連絡ありがとう.
円に接する直線の方程式
- 円に接する直線の方程式
- 円の接線の方程式
- 点A(a,b)を通り円x²+y²=r²に接する直線の方程式の求め方 / 数学II by ふぇるまー |マナペディア|
(ⅲ) $y_{0}=0$ のとき $x_{0}=\pm r$.接線は $x=\pm r$ (複合同順).これは①を満たす. (ⅰ)〜(ⅲ)より 続いて中心が $(a, b)$ の円のとき 上の接線を $x$ 軸方向に $a$,$y$ 軸方向に $b$ 平行移動すると $x_{0}(x-a)+y_{0}(y-b)=r^{2} \ \cdots$ ② 接点 $(x_{1}, y_{1})$ は 原点が中心のときの接点 $(x_{0}, y_{0})$ を $x$ 軸方向に $a$,$y$ 軸方向に $b$ 平行移動したものなので $\begin{cases} x_{1}=x_{o}+a \\ y_{1}=y_{0}+b \end{cases} \ \Longleftrightarrow \ \begin{cases} x_{0}=x_{1}-a \\ y_{0}=y_{1}-b \end{cases}$ これを②に代入すると ※平行移動が苦手な場合は直接 $(x_{1}-a)(x-a)+(y_{1}-b)(y-b)=r^{2}$ を示すのがオススメです. Ⅲ:法線ベクトルを使う方法での証明 法線ベクトルを使って直線を出す方法 の知識が必要なので未習の方はご注意ください.下に格納しました. 証明 例題と練習問題 例題 次の円の与えられた点における接線の方程式を求めよ. $(x-2)^{2}+(y+1)^{2}=25$,点 $(-1, 3)$ 講義 上の公式をそのまま使うだけです. 解答 $(-1-2)(x-2)+(3+1)(y+1)=25$ $\Longleftrightarrow \ -3x+4y+10=25$ $\therefore \ \boldsymbol{3x-4y+15=0}$ ※必ずしも一般形で答えなければいけないわけではありません. 練習問題 練習 (1) $x^{2}+y^{2}=16$,点 $(2\sqrt{3}, 2)$ (2) $x^{2}+y^{2}+8x-2y+15=0$,点 $(-3, 0)$ 練習の解答
タイプ: 教科書範囲 レベル: ★ 円の接線の方程式の公式とその証明を紹介します. 円上の点における接線の問題も扱います. 円の接線の方程式 ポイント 一般の場合 円 $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$ 上の $(x_{1}, y_{1})$ での接線の方程式は $\boldsymbol{(x_{1}-a)(x-a)+(y_{1}-b)(y-b)=r^{2}}$ ↓ $a=b=0$ 特に中心が原点の場合 円 $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ 上の $(x_{0}, y_{0})$ での接線の方程式は $\boldsymbol{x_{0}x+y_{0}y=r^{2}}$ どちらも覚えやすく,数学で受験する上では暗記が必須な公式になります. 証明方法と証明 円の接線の方程式の証明方法 Ⅰ:傾きを求める標準的な方法 Ⅱ:点と直線の距離を使う方法 Ⅲ:法線ベクトルを使う方法 Ⅳ:(数Ⅲの)微分を使う方法 こうしてみると手段がかなり多いですが,前提知識の少なさという点ではⅠが重要で,楽に証明できるという点ではⅢが重要です. 以下ではⅠとⅢで証明します. Ⅰ:傾きを求める標準的な方法での証明 Ⅰでの証明(先に中心が原点の円から) (ⅰ) $x_{0}\neq 0$,$y_{0}\neq 0$ のとき ${\rm A}(x_{0}, y_{0})$ とおくと,直線 ${\rm OA}$ の傾きは $\dfrac{y_{0}}{x_{0}}$ とできる.接線の傾きはこれに垂直なので $-\dfrac{x_{0}}{y_{0}}$ となるから,接線の方程式は $(x_{0}, y_{0})$ を通るので $y=-\dfrac{x_{0}}{y_{0}}(x-x_{0})+y_{0}$ $\Longleftrightarrow \ y_{0}y=-x_{0}x+x_{0}^{2}+y_{0}^{2}$ $\Longleftrightarrow \ x_{0}x+y_{0}y=x_{0}^{2}+y_{0}^{2}$ 接点 $(x_{0}, y_{0})$ が円 $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ 上にあるので $x_{0}x+y_{0}y=r^{2} \ \cdots$ ① (ⅱ) $x_{0}=0$ のとき $y_{0}=\pm r$.接線は $y=\pm r$ (複合同順).これは①を満たす.
【数学】円の接線の方程式の求め方（解法③：接点を求めて計算量を軽くしたい）【高校 数学 図形と方程式 数学2】（質問ありがとうございます！） | 行間（ぎょうのあいだ）先生
数学(高校) 円の接線の方程式 解法③ 平行移動の活用 2020. 11. 02 2018. 03. 22 今回は、こんな質問をいただきました↓ 点(4, 6)を通り、円 (x -1) 2 + (y - 1) 2 = 9 に接する直線の方程式は? この問題、直接書いてないですが、 円の 接線を求める問題 です。 円の接線を求める問題には、 与えられる条件によって、いろいろなパターンがあります。 今回の問題は、 中心が 原点でない 与えられた点は、 円上の点でない パターンになります。 (図は動画の中で書いていますので、参考にしてくださいネ) 「接線の方程式を求める方法」はパターンによって、いくつかあります。 本記事では、上の問題を3つの解法で解いてみました。 解法①:ラクな解法 解法②:接点の座標も求めれる解法 解法③:原点中心の公式を使う解法 について、解説しながら、それぞれの解法の長所短所などをまとめたいと思います。 これで円の接線の方程式は得点源にできた! となってもらえたらな、と思います。 今回は、解法③:原点中心の公式を使う解法についての記事になります。 解法①②については、以下にあります↓ 【数学】円の接線の方程式の求め方(解法③:接点を求めて計算量を軽くしたい)【高校 数学 図形と方程式 数学2】(質問ありがとうございます!) 解法③でのポイントは、「平行移動」を使うことです。 どういうことかというと、 与えられた円は、中心(1, 1)の、原点中心 じゃない 円なので、 接線を求めるための計算がややこしかったわけです(解法②) これをもっとかんたんに解けないかなぁ~と思って、以下の方法を考えました。 基本的な考え方は、「平行移動を使って解きやすい状態に変える」ということです。 原点中心の円の接線は扱いやすいので、接線が簡単に求まる可能性があります。 なので、以下の戦略をとります。 [1], まず原点中心の状態に平行移動させます。 [2], 平行移動させた状態で、接線や接点が求めます。 [3], 求めた接線や接点を、もう1度平行移動させて、問題で与えられた状態に戻します。 動画による解答は以下になります (下の解説を読んだ後の方がわかりやすいかと思います) では実際にやってみましょう! 今回の円は、中心(1, 1)なので、原点中心にするために、 x方向に-1, y方向に-1 だけ平行移動させます。 与えられた点(4, 6)も同様に平行移動させます。 すると問題文は、 点(3, 5)を通り、円 x 2 + y 2 = 9 に接する直線の方程式は?
